Чему равна работа газа при расширении. Термодинамическая работа. Работа газа

6.2. Первый закон термодинамики

6.2.2. Работа, совершаемая газом при различных процессах

Внутренняя энергия газа может изменяться в результате совершения газом работы и сообщения ему теплоты. Поэтому принято говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: о теплоте и работе.

Работа газа при произвольном процессе рассчитывается как площадь криволинейной трапеции под графиком p (V ). На рис. 6.1 показана произвольная зависимость давления газа p от его объема V (объем газа в начальном состоянии V 1 ; объем газа в конечном состоянии V 2). Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом.

Рис. 6.1

Если зависимость p (V ) представляет собой прямую линию, то работа численно равна площади прямолинейной трапеции.

В Международной системе единиц работа, совершаемая газом, измеряется в джоулях (1 Дж).

Работа газа при изобарном процессе (p = const) может быть вычислена по одной из формул:

A = p ∆V , или A = νR ∆T ,

где p - давление газа; ΔV - изменение объема газа при переходе из начального в конечное состояние, ΔV = V 2 − V 1 ; V 1 - объем газа в начальном состоянии; V 2 - объем газа в конечном состоянии; ν - количество вещества (газа); R - универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); ΔT - соответствующее изменение температуры газа, ΔT = T 2 − T 1 ; T 1 - абсолютная температура начального состояния; T 2 - абсолютная температура конечного состояния.

Работа газа при изохорном процессе (V = const) не совершается:

A = 0.

Работа газа при круговом (циклическом ) процессе рассчитывается как площадь фигуры, ограниченной графиком функции p (V ). На рис. 6.2 показан график произвольного кругового процесса; цифрами обозначены: 1 - исходное состояние идеального газа (оно совпадает с конечным); 2 , 3 - промежуточные состояния газа.

Рис. 6.2

Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом при циклическом процессе.

Работа, совершаемая газом за цикл, может быть:

положительной (прямой цикл);
отрицательной (обратный цикл).

Пример 3. График циклического процесса, происходящего с некоторой массой идеального газа, в координатах p (V ) имеет вид прямых, соединяющих точки (0,0250 м 3 ; 75,0 кПа), (0,0750 м 3 ; 125 кПа), (0,0750 м 3 ; 75,0 кПа). Определить абсолютную величину работы, совершаемой газом за цикл.

Решение . На рисунке изображен график циклического процесса в указанных термодинамических координатах p (V ).

Величина искомой работы равна площади треугольника, ограниченного прямыми, соединяющими указанные точки:

A = 1 2 (125 − 75,0) ⋅ 10 3 ⋅ (0,0750 − 0,0250) = 1,25 ⋅ 10 3 Дж = 1,25 кДж.

Газ за цикл совершает работу 1,25 кДж.

Пример 4. Газ, состоящий из смеси 2,0 г водорода и 4,2 г гелия, при изобарном нагревании совершил работу 46 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа, если его начальная температура была равна 300 К? Молярные массы водорода и гелия равны 2,0 и 4,0 г/моль соответственно.

Решение . Запишем формулу для расчета работы смеси газов при изобарном процессе:

A = p ∆V = p (V 2 − V 1),

где p - давление смеси газов (постоянная величина), p = const; V 1 - объем смеси газов в начальном состоянии; V 2 - объем смеси газов в конечном состоянии.

Давление смеси газов определяется законом Дальтона:

p = p 1 + p 2 ,

где p 1 - парциальное давление водорода; p 2 - парциальное давление гелия.

Давления указанных газов в смеси определяются следующими выражениями:

парциальное давление водорода

p 1 = m 1 M 1 R T 1 V 1 ,

где m 1 - масса водорода; M 1 - молярная масса водорода; T 1 - температура смеси газов в начальном состоянии; V 1 - объем смеси газов в начальном состоянии; R - универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К);

парциальное давление гелия

p 2 = m 2 M 2 R T 1 V 1 ,

где m 2 - масса гелия; M 2 - молярная масса гелия.

Подстановка закона Дальтона и явного вида выражений для парциальных давлений водорода и гелия в формулу для работы, совершаемой смесью указанных газов, дает

A = (p 1 + p 2) (V 2 − V 1) = (m 1 M 1 R T 1 V 1 + m 2 M 2 R T 1 V 1) (V 2 − V 1) .

Преобразование данного уравнения к виду

A = (m 1 M 1 + m 2 M 2) R T 1 V 1 (V 2 − V 1) = (m 1 M 1 + m 2 M 2) R T 1 (V 2 V 1 − 1)

позволяет выразить искомое отношение объемов

V 2 V 1 = A (m 1 M 1 + m 2 M 2) R T 1 + 1 .

Вычислим:

V 2 V 1 = 46 ⋅ 10 3 (2,0 ⋅ 10 − 3 2,0 ⋅ 10 − 3 + 4,2 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3) ⋅ 8,31 ⋅ 300 + 1 = 10 .

Следовательно, при совершении указанной работы объем смеси увеличился в 10 раз.

В механике работа, которая выполняет-ся силой F, равна произведению значения этой силы на перемещение x и на косинус угла между ними: A = Fx cos α .

Вычисление выполненной работы в тер-модинамике связывают с макропараметрами системы. Рассмотрим газ, находящийся в ци-линдре под поршнем площадью S (рис. 2.1, а).

Пусть на газ действует поршень, при-нуждая его сжиматься. Под действием силы F̅ поршень смещается вниз на высоту Δ h = h 2 — h 1 (рис. 2.1, б), выполняя работу A = F Δ h (направление действия силы совпа-дает с направлением перемещения, поэтому cos α = 1). Если перемещение поршня незна-чительное, то давление газа можно считать постоянным (p = const). Поршень будет дви-гаться до тех пор, пока не уравновесятся силы F̅ и F̅’, то есть согласно третьему закону Ньютона сила F по модулю должна равняться силе давления газа F’. Приняв во внимание, что F = pS, a S Δ h = ΔV, получим:

A = pS(h 2 — h 1) = pAV.

Поскольку V 2 < V 1 , следовательно, Δ V < 0 , то работа внешних сил над газом будет равна:

A = — p Δ V.

Если под действием силы давления F’ газ расширяется (рис. 2.1, б ), то есть сам выполняет работу A’ = pS(h 2 — h 1), то ее значение также равно p ΔV. Вместе с тем в данном случае выполненная газом работа положительная, поскольку V 2 > V 1 и ΔV > 0 :

A’ = p Δ V.

Работу газа можно вычислить по графику термодинамического процесса. Так, для изо-барного процесса (рис. 2.2) работа газа A’ = p Δ V равна площади прямоугольника, ограниченного изобарой и осью ординат V, а также прямыми, отвечающими значениям объемов V 1 и V 2 .

Для произвольных процессов на коор-динатной плоскости pV работу графически вычисляют таким же способом — находят площадь фигуры, ограниченную графиком процесса (изотермой), осью V и линиями, фиксирующими изменение объема. Напри-мер, для изотермического процесса, в ко-тором давление изменяется обратно про-порционально объему (рис. 2.3), площадь фигуры ABCD делят на небольшие участки и вычисляют площадь каждого из них. По-том складывают полученные результаты и оп-ределяют общую работу газа: A = A 1 + A 2 + …

При незначительных изменениях объема или постоянном давлении формулы работы A = — p Δ V и A’ = p Δ V справедливы не только для га-зов, но и для других термодинамических систем. Поскольку изменение объема при постоянном давлении сопровождается изме-нением температуры тела, то можно сделать вывод, что

выполнение работы в термодина-мике вызывает изменение состояния тела, так как изменяются его температура T и объем V. Материал с сайта

1. В в ертикально расположенном цилиндре с площадью основ ания 1 дм 2 под поршнем массой 10 кг, скользящим без трения и закрыв ающим цилиндр св ерху, находится в оздух. После изобарного нагрев ания в оздуха поршень поднялся на в ысоту 20 см. Какую работу сов ершил в оздух, если наружное дав ление рав но 100 кПа?

Работа газ а при изобарном расширении рав на A = p ∆ V . Объем изменился на в еличину ∆ V = S ∆ h . Найдем дав ление в оздуха под поршнем. На него действ уют силы дав ления в оздуха, наружного дав ления и сила тяжести поршня.

Поэтому: pS = p a S + mg . Отсюда:

А = (10 5 ∙10 – 2 + 100)∙ 0,2 = 220 Дж.

2. Идеальный газ расширяется по закону p = kV , где р – дав ление, V – объем, k = 200 МПа/м 3 . Найдите работу, сов ершаемую газ ом при ув еличении объема от 2 до 3 л.

Данная задача легко решается графически. Т.к. по услов ию дав ление пропорционально объему, то графиком процесса в координатах pV будет прямая линия, проходящая через начало координат.

Работа газ а рав на площади фигуры (в данном случае – прямоугольной трапеции).

3. На рис унке показан цикличес кий процес с , проис ходящий с идеальным газом, при этом р 2 = 2,3 р 1 . Работа газа на участке 2-3 равна 680 Дж. Определите работу газа за цикл.

Работа газа за цикл может быть найдена графичес ки как площадь фигуры, в данном с лучае – прямоугольного треугольника.

Процес с 2-3 изобарный, потому работа газа на данном учас тке ра в на A 2-3 = p 2 ( V 2 – V 1 ). Значит, работа за цикл рав на

4. Идеальный газ в количес т в е 2,72 моль с о в ершает цикличес кий процес с . Из в ес тно, что Т 1 = 290 К, р 2 / р 1 = 4,53, Т 4 / Т 1 = 2,38. Определите работу газа за цикл.

Для решения задачи проще изобразить данный цикличес кий процес с в координатах р V .

Графичес ки работа газа ра в на площади фигуры, т.е. прямоугольника: A = ( p 2 – p 1 )( V 4 – V 1 ). Так как процес с 4-1 изобарный, то

A = (4,53 p 1 – p 1 )(2,38 V 1 – V 1 ) = 4,8714 p 1 V 1 .

Из урав нения Клайперона-Менделеев а p 1 V 1 = ν RT 1 . Отс юда

А = 4,8714 ν RT 1

A = 4,8714 ∙ 2,72 ∙ 8,31 ∙290 ≈ 31900 Дж = 31 ,9 кДж.

5 - При изобарическом нагревании от температуры t 1 = 20°C до t 2 = 50°C газ совершает работу
А = 2,5 кДж. Определите число молекул газа, участвующих в этом процессе.

источники: Балаш В.А.

6 - В вертикальном цилиндре с площадью основания S = 10 см 2 находится газ при температуре 27°C. На высоте h = 25 см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на который поставлена гиря весом 20 Н. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на Δt = 100°C?
Атмосферное давление р 0 = 105 Па. Трения в системе нет.

Ответ: А = 10 Дж

источники: Балаш В.А. "Задачи по физике и методы их решения". Пособие для учителей. М., Просвещение, 1974.

Гончаренко С.У., Воловик П.Н. "Физика". Учебное пособие для 10 кл. вечерней (сменной) средн. шк. и самообразования М., Просвещение, 1989.

Гладкова Р.А., Добронравов В.Е., Жданов Л.С., Цодиков Ф.С. "Сборник задач и вопросов по физике" для сред. спец. уч. заведений М., "Наука", 1975.

7 - Какая масса водорода находится в цилиндре под поршнем, если при нагревании от температуры
T 1 = 250 K до температуры Т 2 = 680 К газ произвел работу А = 400 Дж?

Ответ: m=0,2 г

источники: Балаш В.А. "Задачи по физике и методы их решения". Пособие для учителей. М., Просвещение, 1974.

8 - С одноатомным идеальным газом, количество вещества которого ν = 1 моль ,
совершают замкнутый циклический процесс (см. рис.). В точке 1 температура газа T 1 = 300 K ,
а в точке 4 - T 4 = 500 К . Если работа газа за цикл A = 340 Дж , то на участке 2 - 3 ему сообщили
количество теплоты Q , равное … кДж .

Решение:

На участке 2 - 3 процесс изотермический, следовательно, ΔU = 0 и Q = A 23 - площадь под изотермой.