1. Компания продает свою продукцию по цене p =500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия f = 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб. 5000

2. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t 2 , где h - расстояние в метрах, t = время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах 1

3. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб 6

4. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h- высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров? 1,2

5. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m - масса воды в килограммах, v - скорость движения ведeрка в м/с, L - длина верeвки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с 2

6. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 м - начальная высота столба воды, - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g - ускорение свободного падения (). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды? 5100

7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где м - начальный уровень воды, м/мин 2 , и м/мин - постоянные, t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах 20

8. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где м -1 , - постоянные параметры, x (м) - смещение камня по горизонтали, y (м) - высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? 90

9. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где t - время в минутах, Т 0 = 1400 К, а = -10 К/мин 2 , b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах 2

10. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t - время в минутах, - начальная угловая скорость вращения катушки, а - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет 1200 0 . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах. 20

11. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 12 км/ч . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах 30

12. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением а = 5 м/с . За t секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах. 60

13. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 10 см, и двух боковых с массами M= 1 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг. см 2 , даeтся формулой . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг. см 2 ? Ответ выразите в сантиметрах. 5

14. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где l - длина ребра куба в метрах, - плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте g=9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400Н? Ответ выразите в метрах 2

15. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где - постоянная, r - радиус аппарата в метрах, - плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ в метрах 2

16. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P , измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м 2 , а излучаемая ею мощность P не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина 4000

17. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см.Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах 36

18. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (Гц), где c - скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с=315 м/с. Ответ выразите в м/с 7

19. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где - ЭДС источника (в вольтах), Ом - его внутреннее сопротивление, R - сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания ? (Ответ выразите в Омах 4

20. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: , где U - напряжение в вольтах, R - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах 55

21. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле , где - частота вынуждающей силы (в ), - постоянный параметр, - резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на 12,5%. Ответ выразите в 120

22. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ом и Ом их общее сопротивление даeтся формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах 10

23. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где - температура нагревателя (в градусах Кельвина), - температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина 400

24. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кг К) - теплоёмкость воды, Дж/кг - удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от 10 0 С до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ в килограммах 18

25. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу тонн представляют собой две пустотелые балки длиной метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m - масса экскаватора (в тоннах), l - длина балок в метрах, s - ширина балок в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте м/с ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах 2,5

26. К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Омах 5

27. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением: (Гц), где c - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с - скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц 390

28. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле , где м/с - скорость звука в воде, - частота испускаемых импульсов (в МГц), f - частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f , если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с 751

29. l км с постоянным ускорением , вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 5000

30. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м - длина покоящейся ракеты, км/с - скорость света, а v - скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с 180000

31. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч , вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч . Ответ выразите в км/ч 100

32. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где m=1200 кг - общая масса навеса и колонны, D - диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с , а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах 0,2

33. Автомобиль, масса которого равна m=2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S=500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F , приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ в секундах 30

34. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где p - давление в газе в паскалях, V - объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него ) из начального состояния, в котором Па , газ начинают сжимать. Какой наибольший объeм V может занимать газ при давлениях p не ниже Па? Ответ выразите в кубических метрах 0,125

35. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где - начальная масса изотопа, t (мин) - прошедшее от начального момента время, T - период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени мг изотопа Z , период полураспада которого мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг 30

36. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где p (Па) - давление в газе, V - объeм газа в кубических метрах, a - положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза 2

37. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где p (атм.) - давление в газе, V - объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах 0,05

38. Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с), где - постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с 2

39. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причeм (м), где - теплоeмкость воды, - коэффициент теплообмена, а - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м 30

40. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где постоянная, а К - температура воздуха. Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж 8

41. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где - постоянная, К - температура воздуха, (атм) - начальное давление, а (атм) - конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах 6

42. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью м/с? Считайте, что ускорение свободного падения м/с 30

43. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой , где - сила тока в рамке, Тл - значение индукции магнитного поля, м - размер рамки, - число витков провода в рамке, a - острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a(в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н м 30

44. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где - время в секундах, амплитуда В, частота , фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть 50

45. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в градусах 30

46. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного падения (считайте м/с 2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м 30

47. Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного падения ( м/с 2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м 15

48. Плоский замкнутый контур площадью S=0,5 м 2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где a - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, Тл/с - постоянная, S - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м ). При каком минимальном угле a(в градусах) ЭДС индукции не будет превышать В 60

49. Трактор тащит сани с силой F =80 кН, направленной под острым углом a к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 50м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле a (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж 60

50. Трактор тащит сани с силой F=50 кН, направленной под острым углом a к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v = 3 м/с равна . При каком максимальном угле a (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт 60

51. При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм 30

52. Два тела массой кг каждое, движутся с одинаковой скоростью м/с под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением . Под каким наименьшим углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей. 60

53. Катер должен пересечь реку шириной м и со скоростью течения u =0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где a - острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом a(в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с 45

54. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v = 3 м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где m = 80 кг - масса скейтбордиста со скейтом, а M = 400 кг - масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с? 60

55. Груз массой 0,08кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t - время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле , где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 . 10 -3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. 0,25

56. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t - время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 . 10 -3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых 0,25

57. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t - время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. 0,17

58. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) - радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

59. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности , оперативности и объективности публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от -2 до 2.

Аналитик, составляющий формулу, считает, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность - вдвое дороже, чем оперативность. В результате, формула примет вид

Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 30?

где - средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), - оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и - число покупателей, оценивших магазин.

61. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

62. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2.

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

Ответ.8.

№ 5.2.(523). Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h (t ) =1,6 + 8t – 5t 2 , где h -высота в метрах,t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение. По условию задачи мяч будет находиться на высоте не менее 3 м, значит выполняется неравенство h ≥ 3 или 1,6 + 8t – 5t 2 ≥ 3.

Решим полученное неравенство: - 5t 2 +8t – 1,4 ≥ 0; 5t 2 - 8t +1,4 ≤ 0.

Решим уравнение 5t 2 - 8t +1,4 = 0.

D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4∙5∙1,4 = 64 - 28 = 36.

t 1,2 = = .

t 1 = = 0,2 , t 2 = 1,4.

5(t -0,2)(t - 1,4) ≤ 0; 0,2 ≤ t ≤ 1,4.

Мяч находился на высоте не менее 3 м с момента времени 0,2 с до момента времени 1,4 с, то есть в период времени 1,4 – 0,2 = 1,2 (с).

Ответ.1,2.

№ 5.3(526). Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальном плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления воды на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в паскалях, равна P = m , где m – масса воды в килограммах,- скорость движения ведерка в м/с, L - длина веревки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g = 10м/c 2).С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 90 см? ответ выразите в м/с.

Решение. По условию задачи P ≥ 0 или m ≥ 0.

С учетом числовых значений L= 90 см = 0,9 м, g = 10м/c 2 и m 0 неравенство примет вид: - 10 ≥ 0; 2 ≥ 9.

Исходя из физического смысла задачи ≥ 0, поэтому неравенство примет вид

≥ 3.Наименьшее решение неравенства = 3(м/с).

№ 5.4 (492). Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением T(t ) = T 0 + bt + at 2 ,где T 0 = 1350 К, a = -15 К/мин 2 , b = 180 К/мин.Известно, что при температуре нагревателя выше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор?

Решение. Очевидно, прибор будет работать при T(t ) ≤ 1650 (К), то есть должно выполняться неравенство: T 0 + bt + at 2 ≤ 1650. С учетом числовых данных T 0 = 1350К, a = -15К/мин 2 , b = 180К/мин, имеем: 1350 + 180 t - 15 t 2 ≤ 1650; t 2 - 12t + 20 ≥ 0.

Корни квадратного уравнения t 2 - 12t + 20 = 0: t 1 =2 , t 2 =10.

Решение неравенства: t ≤ 2, t ≥10.

Согласно смыслу задачи, решение неравенства принимает вид: 0 ≤ t ≤ 2, t ≥10.

Нагреватель нужно отключить через 2минуты.

Ответ. 2.

№ 5.5 (534). Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = - м -1 , b = - постоянные коэффициенты, x (м) – смещение камня по горизонтали, y(м) – высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение. По условию задачи высота камня над землей будет составлять не менее 10 метров (высота стены 9 м и над стеной не менее 1 метра), поэтому выполняется неравенство y ≥ 10 или ax 2 + bx ≥ 10. С учетом числовых данных a = - м -1 , b = неравенство примет вид: - x 2 + x ≥ 10; x 2 - 160x + 6000 ≤ 0.

Корнями квадратного уравнения x 2 - 160x + 6000 = 0 являются значения x 1 = 60 и x 2 = 100.

(x - 60)(x - 100) ≤ 0; 60 ≤ x ≤ 100.

Наибольшее решение неравенства x = 100. Камнеметательную машину необходимо расположить на расстоянии 100 метров от крепостной стены.

Ответ.100.

№ 5.6 (496). Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, измеряется со временем по закону = + , где = 20/мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а = 8/мин 2 – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже, чем угол намотки достигнет 1200. Определите время (в минутах) после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проконтролировать её работу.

Решение. Рабочий может не проверять ход намотки кабеля до того момента, когда угол намотки ≤ 1200,т.е. + ≤ 1200. С учетом того, что = 20/мин, = 8/мин 2 , неравенство примет вид: + ≤ 1200.

20t + 4t 2 ≤ 1200; t 2 + 5t – 300 ≤ 0.

Найдем корни уравнения t 2 + 5t – 300 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, имеем: t 1 ∙ t 2 = - 300, t 1 + t 2 = -5.

Откуда: t 1 = -20, t 2 = 15.

Вернемся к неравенству: (t +20)(t – 15) ≤ 0, откуда -20 ≤ t ≤ 15, с учетом смысла задачи (t ≥ 0), имеем: 0 ≤ t ≤ 15.

Рабочий должен проверить работу лебедки не позже, чем через 15 минут после начала её работы.

Ответ. 15.

№ 5.7 (498). Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 0 = 58 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 8 км/ч 2 . Расстояние от мотоциклиста до города определяется выражением S = 0 t + . Определите наибольшее время (в минутах), в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее, чем 30 км от города.

Решение. Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи пока S ≤ 30, т.е. 0 t + ≤ 30. С Учетом того, что= 58 км/ч, а = 8 км/ч 2 неравенство примет вид: 58t + ≤ 30 или 58t + 4t 2 - 30 ≤ 0.

Найдем корни уравнения 4t 2 + 58t – 30 = 0.

D = 58 2 - 4∙ 4 ∙(-30) = 3364 + 480 = 3844.

t 1 = = 0,5; t 2 = = - 15.

Вернемся к неравенству: (t – 0,5)(t + 15) ≤ 0, откуда -15 ≤ t ≤ 0,5, с учетом смысла задачи (t ≥ 0), имеем: 0 ≤ t ≤ 0,5.

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи в течение 0,5 часа или 30 минут.

Ответ.30.

№ 5.8 (504). Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального – массой m = 4 кг и радиуса R = 5 см, двух боковых массой M = 2 кг, и радиусом R + h каждый. При этом момент инерции катушки (в кг∙ см 2) относительно оси вращения определяется выражением I = + M(2Rh + h 2). При каком максимальном значении (в см) момент инерции катушки не превышает предельных для неё 250 кг∙ см 2 ?

Решение. По условию задачи момент инерции катушки относительно оси вращения не превышает предельного значения 250 кг∙ см 2 , поэтому выполняется неравенство: I ≤ 250, т.е. + M (2Rh + h 2) ≤ 250. С учетом того, что m = 4 кг, R = 5 см, M = 2 кг, неравенство примет вид: + 2∙ (2∙5∙h + h 2) ≤ 250. После упрощения, имеем:

h 2 +10h – 150 ≤ 0.

Найдем корни уравнения h 2 +10 h – 75 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, имеем: h 1 ∙ h 2 = - 75, h 1 + h 2 = -10.

Откуда: t 1 = -15, t 2 = 5.

Вернемся к неравенству: (t +15)(t – 5) ≤ 0, откуда -15 ≤ t ≤ 5, с учетом смысла задачи (t ≥ 0), имеем: 0 ≤ t ≤ 5.

Момент инерции катушки относительно оси вращения не превышает предельного значения 250 кг∙ см 2 при максимальном h = 5см.

Ответ. 5.

№ 5.9(502). Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 0 = 21 м/с и тормозящий с постоянным ускорением а = 3 м/с 2 , за время t секунд после начала торможения проходит путь S = 0 t - . Определите (в секундах) наименьшее время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал не менее 60 метров.

Решение. Так как автомобиль проехал не менее 60 метров после начала торможения, то S ≥ 60,то есть0 t - ≥ 60. С учетом того, что= 21 м/с, а = 3 м/с 2 неравенство примет вид:

21t - ≥ 60 или 42t - 3t 2 - 120 ≥ 0, 3t 2 - 42t + 120 ≤ 0, t 2 - 14t + 40 ≤ 0.

Найдем корни уравнения t 2 - 14t + 40 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, имеем: t 1 ∙ t 2 = 40, t 1 + t 2 = 14.

Откуда: t 1 = 4, t 2 = 10.

Вернемся к неравенству: (t - 4)(t - 10) ≤ 0, откуда 4 ≤ t ≤ 10.

Наименьшее время, прошедшее от момента начала торможения, равно t = 4с.

Ответ.4.

Литература.

ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И. В. Ященко и др. / под ред. А.Л. Семенова, И. В. Ященко - М.; Издательство «Экзамен». 2013 г.

Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ 2014. Математика. Учебное пособие. / А.В. Семенов, А. С. Трепалкин, И. В. Ященко и др. / под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. - М.; Интеллект- Центр, 2014 г.

Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В12. Задачи прикладного содержания

Ответ: 6.25

Задание B12 . Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка..gif" alt="R = 10" width="52" height="14">.gif" alt="R+h" width="44" height="15">. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг, даeтся формулой https://pandia.ru/text/78/284/images/image1565.gif" alt="1000 ext{кг}cdot ext{см}^2" width="87" height="17">? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 10

Задание B12. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где https://pandia.ru/text/78/284/images/image1568.gif" alt="m_0 = 40" width="60" height="16"> мг изотопа Z , период полураспада которого https://pandia.ru/text/78/284/images/image1570.gif" alt="T(t)~=~T_0+at+bt^2" width="148" height="21 src=">, где К, К/мин, К/(мин)2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Ответ: 30

Задание B12. Деталью некоторого прибора являетcя квадратная рамка c намотанным на неe проводом, через который пропущен поcтоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращатьcя. Момент cилы Ампера, cтремящейcя повернуть рамку, (в Нм) определяетcя формулой https://pandia.ru/text/78/284/images/image1575.gif" alt="I = 3{ m{A}}" width="52" height="14">.gif" alt="l =0,4" width="54" height="17 src="> м - размер рамки, - чиcло витков провода в рамке, https://pandia.ru/text/78/284/images/image1533.gif" alt="alpha" width="16" height="11">(в градуcах) рамка может начать вращатьcя, еcли для этого нужно, чтобы раcкручивающий момент M был не меньше 0,15 Нм?

Ответ: 30

Задание B12. Небольшой мячик броcают под оcтрым углом https://pandia.ru/text/78/284/images/image1580.gif" alt="L=frac{{v_0^2 }}{g}sin 2alpha" width="96" height="43"> (м), где м/c - начальная cкороcть мяча, а g - уcкорение cвободного падения (cчитайте м/chttps://pandia.ru/text/78/284/images/image1584.gif" width="89" height="41 src="> (см/с), где t

Задание B12. Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по законуhttps://pandia.ru/text/78/284/images/image1586.gif" width="63 height=44" height="44">, где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее https://pandia.ru/text/78/284/images/image1588.gif" width="47" height="19"> м и со скоростью течения м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где - острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега)..gif" alt="m=3" width="45" height="14 src=">.gif" alt="2\alpha" width="25" height="14">друг к другу..gif" alt="2 \alpha " width="25" height="14">(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 96 джоулей?

Задание B12. При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов..gif" alt="d\sin \varphi= k\lambda" width="88" height="19 src=">..gif" width="15" height="14">километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) - радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в километрах.

Задание B12. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) - радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 140 километров? Ответ выразите в километрах.

Задание B12. (см/с), где t - время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 4 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Задание B12. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t - время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Задание B12. Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону https://pandia.ru/text/78/284/images/image1605.gif" alt="E=\frac{{mv^2 }}{2}" width="63" height="39">, где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Задание B13.

13. (Базовый)	Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
	22 мин.	10 мин.

Тип задания. Задача на составление уравнения.

Характеристика задания. Традиционная «текстовая» задача (на движение, работу и т. п.), т. е. задача на составление уравнения.

Комментарий. В качестве неизвестной, как правило лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение сводится в большинстве случаев к квадратному или линейному.

Для успешного решения задач типа В13 необходимо:

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры

Задание B13. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выпол­нит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть ра­боты, какую второй - за три дня?

Решение. Обозначим и -объемы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объем работ примем за 1. Тогда по условию задачи и . Решим полученную систему:

https://pandia.ru/text/78/284/images/image1612.gif" height="166 src=">Тем самым, первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней.

Большинство абитуриентов не умеют решать такие задачи и даже не знают, насколько они просты. Между тем задача В13 - это ваш шанс с легкостью получить еще один балл на ЕГЭ по математике.

Текстовая задача В13 - легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Почему текстовые задачи В13 относятся к простым?
Во-первых, все задачи В13 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, все В13 однотипны - это задачи на движение или на работу. Главное - знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия.

Всё, что нужно, - это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. А если даже вы забыли формулу для дискриминанта - не беда, напомним.

Но прежде чем перейти к самим задачам - проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

1..jpg" width="16" height="18">

2..jpg" width="16" height="18">

3..gif" width="14" height="13">

4..gif" width="14" height="13 src="> в 3,5 раза

5..gif" alt="t2" width="17" height="22">

6. частное от деления на в полтора раза больше

7. квадрат суммы и равен 7

8..jpg" width="16" height="18">

9..gif" width="15" height="13 src="> на 15 процентов

Пока не напишете - в ответы не подглядывайте! :-)

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах 7 и 8. Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на 5 больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы:-)

Итак, правильные ответы:

х больше, чем у. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить бóльшую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
х больше, чем у, в пять раз. Значит, если у умножить на 5, получим х.
z меньше, чем х. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
На всякий случай повторим терминологию:
Сумма - результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность - результат вычитания.
Произведение - результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное - результат деления чисел.
Мы помним, что .
Если принять за 100, то на 15 процентов больше, то есть 1151,15.

Теперь - сами задания В13.

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время . В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

Задание B13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист . Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за.gif" width="14" height="13">40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние - и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость - она равна.gif" width="14 height=13" height="13">40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: https://pandia.ru/text/78/284/images/image1637.gif" alt="t1 = 50/x" width="81" height="47">, для автомобилиста 100%" style="width:100.0%">

велосипедист

автомобилист

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже - значит, времени он затратил больше. Это значит, что.gif" alt="t2" width="17" height="22">, то есть

Задача 1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где - расстояние в метрах, - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение:

Вычислим расстояние до воды до дождя:

Во время дождя уровень воды поднимится, уменьшится время падения камешка и составит 1 с.

Тогда расстояние до воды после дождя будет м.

Соответственно уровень воды поднимется после дождя на м.

Ответ: 2,2.

Задача 2. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где - высота в метрах, - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение:

Находим интересующее нас время из неравенства:

Корни квадратного трехчлена : 0,2 и 2,4.

Поэтому переходим к следующему неравенству:

Стало быть, мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров в течении секунд.

Ответ: 2,2.

Задача 3. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где - масса воды в килограммах, - скорость движения ведeрка в м/с, - длина верeвки в метрах, - ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 160 см? Ответ выразите в м/с.

Решение:

Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.

Не забудьте перевести сантиметры в метры!

Поскольку – положительная величина, переходим к равносильному неравенству:

В силу неотрицательности переменной неравенство равносильно следующему:

Наименьшее значение , отвечающее неравенству, равно 4.

Задача 4. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м - начальная высота столба воды, - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а - ускорение свободного падения (считайте м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение:

Первоначальная высота столба в баке (при ) – м.

Четверть объема останется тогда в баке, когда высота столба воды в баке станет м.

Подставляем в основную формулу:

Таким образом, через 400 с после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды.

Ответ: 400.

Задача 5. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где t - время в минутах, К, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Найдем , отвечающее

Подставляя все известные величины, получаем:

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1750 К, и если его нагревать и дальше, прибор может испортиться.

Поэтому, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Задача 6. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где - время в минутах, мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а мин - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет 3000˚. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Найдем , отвечающее углу намотки :

Минут (в силу неотрицательности переменной имеем один корень)

Рабочий должен проверить работу лебедки не позднее 30 минут после начала работы.

Задача 7. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с. За секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Решение:

Согласно условию время , прошедшее от момента начала торможения, находится из следующего уравнения:

За 2 секунды после торможения автомобиль проделает путь 30 м.

Задача 8. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кгсм, даeтся формулой . При каком максимальном значении момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг см? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Момент инерции катушки не должен превышать предельного значения 1300 кг см, поэтому

В силу неотрицательности , получаем:

Так, максимальное подходящее значение – это 10 см.

Задача 9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где - постоянная, - радиус аппарата в метрах, кг/м - плотность воды, а - ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 42000 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение:

Выталкивающая сила при погружении должна быть не больше, чем 30618 Н, поэтому

Соответственно, максимальный радиус аппарата, отвечающий неравенству – 1.

Задача 10. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P , измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, а температура - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м, а излучаемая ею мощность не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение:

Решим неравенство:

Сокращаем обе части неравенства на

Умножаем обе части на 128:

В силу неотрицательности , имеем:

Наименьшая возможная температура звезды – 4000 К.

Ответ: 4000.

Вы можете пройти , часть 2.

Занимаюсь в "Пять с плюсом" в группе Гульнур Гатаулловны биологией и химией. Я в восторге, преподаватель умеет заинтересовать предметом, найти подход к ученику. Адекватно объясняет суть своих требований и дает реалистичное по объему домашнее задание(а не как большинство учителей в год ЕГЭ десять параграфов на дом, а один в классе). . Занимаемся строго к ЕГЭ и это очень ценно! Гульнур Гатаулловна искренне интересуется предметами, которые преподает, всегда дает нужную, своевременную и актуальную информацию. Очень рекомендую!

Камилла

Готовлюсь в "Пять с плюсом" к математике (с Даниилом Леонидовичем) и русскому языку (с Заремой Курбановной). Очень довольна! Качество занятий на высоком уровне, в школе по этим предметом теперь одни пятерки и четверки. Пробные экзамены написала на 5, уверена, что ОГЭ сдам отлично. Спасибо вам!

Айрат

Готовился к ЕГЭ по истории и обществознанию с Виталием Сергеевичем. Он чрезвычайно ответственный по отношению к своей работе педагог. Пунктуален, вежлив, приятен в общении. Видно, что человек живет своей работой. Прекрасно разбирается в подростковой психологии, имеет четкую методику подготовки. Спасибо "Пять с плюсом" за работу!

Лейсан

Сдала ЕГЭ по русскому языку на 92 балла, математику на 83, обществозание на 85, считаю это отличным результатом, поступила в ВУЗ на бюджет! Спасибо "Пять с плюсом"! Ваши преподаватели настоящие профессионалы, с ними высокий результат гарантирован, очень рада, что обратилась именно к вам!

Дмитрий

Давид Борисович - замечательный преподаватель! Готовился в его группе к ЕГЭ по математике профильный уровень, сдал на 85 баллов! хотя знания в начале года были не очень. Давид Борисович знает свой предмет, знает требования ЕГЭ, он сам состоит в комиссии по проверке экзаменационных работ. Я очень рад, что смог попасть в его группу. Спасибо "Пять с плюсом" за такую возможность!

Виолетта

"Пять с плюсом" - отличный центр подготовки к экзаменам. Здесь работают профессионалы, уютная атмосфера, приветливый коллектив. Я занималась с Валентиной Викторовной английским и обществознанием, сдала оба предмета на хороший балл, довольная результатом, спасибо вам!

Олеся

В цетре "Пять с плюсом" занималась сразу по двум предметам: математикой с Артемом Маратовичем и литературой с Эльвирой Равильевной. Очень понравились занятия, четкая методика, доступная форма, комфортная обстановка. Я очень довольна результатом: математика - 88 баллов, литература - 83! Спасибо вам! Буду всем рекомендовать ваш образовательный центр!

Артем

Когда я выбирал репетиторов, в центре "Пять с плюсом" меня привлекли хорошие преподаватели, удобный график занятий, наличие пробных бесплатных экзаменов, моих родителей - доступные цены за высокое качество. В итоге мы всей семьей остались очень довольны. Я занимался сразу по трем предметам: математика, обществознание, английский. Сейчас я студент КФУ на бюджетной основе, и все благодаря хорошей подготовке - сдал ЕГЭ на высокие баллы. Спасибо!

Дима

Я очень тщательно подбирал репетитора по обществознанию, хотел сдать экзамен на максимальный балл. "Пять с плюсом" помогли мне в этом вопросе, я занимался в группе Виталия Сергеевича, занятия были супер, все понятно, все четко, при этом весело и непринужденно. Виталий Сергеевич так преподносил материал, что запоминалось само собой. Я очень доволен подготовкой!