|
Конец формы
Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Комната имеет размеры 5 м × 3,5 м, коридор - 1,5 м × 6,5 м, длина кухни 3,5 м. Найдите площадь санузла (в квадратных метрах).
Конец формы
Конец формы
В окружности с центром O отрезки AC и BD - диаметры. Вписанный угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=80, AC=96. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
В окружности с центром O отрезки AC и BD - диаметры. Вписанный угол ACB равен 71°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
Конец формы
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 16 длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=65, AC=50. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
|
Конец формы
Конец формы
Конец формы
|
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 30 м и 20 м. Дом, расположенный на участке, имеет форму квадрата со стороной 6 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Пирамида
Снофру имеет форму правильной
четырёхугольной пирамиды, сторона
основания которой равна 220 м, а
высота - 104
м. Сторона основания точной музейной
копии этой пирамиды равна 110 см.
Найдите высоту музейной копии.
Ответ дайте
в сантиметрах.
Конец формы
План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=37, AC=24. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 24 метра и 36 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.
Конец формы
Даны
два цилиндра. Радиус основания и
высота первого равны соответственно
9 и 8, а второго - 12
и 3.
Во сколько раз площадь
боковой поверхности первого
цилиндра больше площади боковой
поверхности второго?
Конец формы
Конец формы
Конец формы
План
местности разбит на клетки. Каждая
клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м.
Найдите площадь участка, выделенного
на плане. Ответ дайте |
Конец формы
На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 36°?
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=80, AC=128. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
Квартира
состоит из комнаты, кухни, коридора
и
санузла (см. чертёж). Кухня имеет
размеры 3 м × 4 м,
санузел - 1,5 м × 2 м,
длина
коридора 6 м. Найдите
площадь комнаты
(в квадратных
метрах).
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=65, AC=104. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
На плане
указано, что прямоугольная комната
имеет площадь 15,2 кв. м. Точные
измерения показали, что ширина
комнаты равна 3 м, а длина
5,1 м.
На сколько квадратных
метров площадь комнаты отличается
от значения, указанного на плане?
Конец формы
Конец формы
В трапеции ABCD известно, что AD=6, BC=5, а её площадь равна 22. Найдите площадь треугольника ABC.
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=5, AC=8. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
В треугольнике ABC известно, что AB=BC=82, AC=36. Найдите длину медианы BM.
Конец формы
Конец формы
Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого? |
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00?
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 40 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.
Конец формы
Конец формы
Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого? |
Конец формы
|
Конец формы
|
|
ПР№5, задачи по теме «КОНУС», вариант-1.
1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания - 152. Найдите образующую конуса.
3.
4.
5.
6.
7. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.
8. Площадь основания конуса равна 16, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
9. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
12. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на.
ПР№5, задачи по теме «КОНУС», вариант-2
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
10. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?
11. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?
13. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
14. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на.
15. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Найдите, чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.
16. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
17. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
РАЗБОР ЗАДАЧ
Р2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью .
Сечением является круг.
Необходимо найти площадь этого круга.
Построим осевое сечение:
Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):
OC это радиус основания, его можно найти:
Значит
Теперь можем вычислить площадь сечения:
*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:
Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит площади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:
Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.
Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:
Ответ: 2
Р3. Высота конуса равна 8, а длина образующей - 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 48
Р4. Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей - 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 300
Р1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания - 152. Найдите образующую конуса.
Ответ: 95
Р5. Высота конуса равна 21, а длина образующей - 75 . Найдите диаметр основания конуса.
Диаметр основания конуса равен двум радиусам. Радиус мы можем найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:
Следовательно, диаметр основания конуса равен 144.
Ответ: 144
Р6. Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей - 100 . Найдите высоту конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:
Ответ: 96
Р7. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.
Р8. Площадь основания конуса равна 16, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:
Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:
Значит, диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 24
Р9. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Подставляем данные:
Ответ: 3
Р10. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?
Площадь боковой поверхности конуса:
Образующая увеличивается в 36 раз. Радиус остался прежним, значит длина окружности основания не изменилась.
Значит, площадь боковой поверхности изменённого конуса будет иметь вид:
Таким образом, она увеличится в 36 раз.
*Зависимость прямолинейная, поэтому эту задачу без труда можно решить устно.
Ответ: 36
Р11. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?
Площадь боковой поверхности конуса равна:
Радиус уменьшается в 1,5 раза, то есть:
Получили, что площадь боковой поверхности уменьшилась в 1,5 раза.
Ответ: 1,5
Р12. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на.
Полная поверхность конуса:
Необходимо найти радиус.
Известна высота и образующая, по теореме Пифагора вычислим радиус:
Таким образом:
Полученный результат разделим на и запишем ответ.
Ответ: 144
Р13. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Формула полной поверхности конуса:
Сечение проходит через середину высоты параллельно основанию. Значит, радиус основания и образующая отсеченного конуса будут в 2 раза меньше радиуса и образующей исходного конуса. Запишем, чему равна площадь поверхности отсечённого конуса:
В семнадцатом задании нам необходимо сравнить данные числа с положением на координатной прямой или решить и сопоставить решения неравенств с областью на прямой. В данном задании можно пользоваться правилом исключения, поэтому достаточно правильно определить три решения из четырех, выбирая в первую очередь простые. Итак, приступим к разбору 17 задания базового варианта ЕГЭ по математике.
Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 17МБ1
На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.
| ТОЧКИ | ЧИСЛА |
Алгоритм выполнения:
- Проанализировать рядом с каким из целых чисел стоит данная точка.
- Проанализировать на каком интервале лежат числа из правого столбца.
- Сравнить полученные интервалы и поставить в соответствие.
Решение:
- Рассмотрим точку А. Ее значение больше 1 и меньше 2.
- Рассмотрим точку B. Ее значение больше 2 и меньше 3.
- Рассмотрим точку С. Ее значение больше 3 и меньше 4.
- Рассмотрим точку D. Ее значение больше 5 и меньше 6.
- Вспомним что такое логарифм.
Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
Обозначение: log a x = b , где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.
В нашем случае а = 2, x = 10.
То есть нас интересует число 2 b = 10. 2 3 = 8 и 2 4 = 16, следовательно, b лежит в промежутке от 3 до 4.
Следовательно, 7/3 больше 2 и меньше 3.
Рассмотрим √26. √25 = 5, √36 = 6. Значит, √26 больше 5 и меньше 6.
То есть (3/5) -1 больше 1 и меньше 2.
Поставим в соответствие полученные интервалы.
А — (3/5) -1 — 4
В — 7/3 – 2
С — log 2 10 – 1
D — √26 – 3
Ответ: 4213.
Вариант 17МБ2
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
Алгоритм выполнения:
- Представить правые и левые части неравенств в виде степени одного и того же числа.
- Сравнить степени, так как основания равны.
- Поставить в соответствие предложенные интервалы.
Решение:
Неравенство примет вид:
то есть, — вариант под номером 2.
Неравенство примет вид:
Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.
то есть, — вариант под номером 1.
Аналогично с вариантом Б.
Число 0,5 можно представить как , значит (0,5) x = (2 -1) x = 2 -x
Неравенство примет вид:
Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.
Если умножить и правую и левую часть неравенства на -1, то знак изменится на противоположный.
то есть, — вариант под номером 4.
Представим 4 в виде степени с основанием 2. 2 2 = 4.
Неравенство примет вид:
Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.
и — вариант под номером 3.
Ответ: 2143.
Вариант 17МБ3
На прямой отмечены числа m и n.
Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
| ЧИСЛА | ОТРЕЗКИ |
Алгоритм выполнения:
- Найти промежутки в которых лежат числа m и n.
- Оценить интервалы, в которых лежат выражения в левом столбце.
- Поставить им в соответствие интервалы из правого столбца.
Решение:
Из рисунка видно, что число n немного меньше 0, а число m много больше отстоит от 1. Следовательно, их сумма m+n даст число в пределах – вариант ответа под номером 3.
Число m>1, следовательно, при делении на 1 получим положительное число меньше 1. Добавляя небольшое отрицательное значение n останемся в диапазоне . Вариант ответа 2.
Произведение mn положительного и отрицательного чисел дают отрицательное число. Подходит только один вариант [-1; 0] под номером 1.
Г) Квадрат числа m много больше квадрата числа n, поэтому их разница будет положительной и принадлежать диапазону – вариант под номером 4.
Ответ: 3214.
Вариант 17МБ4
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Рассмотрим первое неравенство:
представим 4 как 2 2 , тогда:
Остальные неравенства решаются аналогичным образом, достаточно вспомнить, что 0,5 = ½ = 2 -1:
Ответ: А-4, Б-3, В-2, А-1.
Вариант 17МБ5
Алгоритм выполнения
- Решаем по очереди каждое из неравенств (А–Г). При необходимости (для наглядности) отображаем полученное решение на координатной прямой.
- Записываем результаты в форме, которая предложена в столбце «Решения». Находим соответствующие пары «буква–число».
Решение:
А. 2 –х+1 < 0,5 → 2 –x+1 < 2 –1 → –x+1 < –1 → –x < –2 → x > 2. Ответ: х ϵ (2; +∞). Получаем: А–3 .
Б. 
Неравенство преобразований не требует, поэтому сразу применяем метод интервалов, отобразив корни неравенства на координатной прямой.
Корни в данном случае – это х=4 и х=5. Имеем в виду, что неравенство строгое, т.е. значения корней в промежуток для ответа не включаем. В точке х=5 перехода знака не происходит, т.к. по условию (х–5) дано в квадрате. Поскольку нам нужен промежуток, где х<0, то ответ в данном случае: х ϵ (–∞; 4).
Соответственно, имеем: Б–4 .
В. log 4 x > 1 → log 4 x > log 4 4 → x > 4. Т.е.: х ϵ (4; +∞). Ответ: В–1 .
Г. (х–4)(х–2) < 0. Здесь так же, как и в неравенстве Б, нужно сразу отобразить решение на координатной прямой.
Неравенство дано квадратное, его корни – х=2 и х=4. Для получения промежутков с положительными и отрицательными значениями схематически изображаем параболу, пересекающую координатную прямую в точках корней. Промежуток «внутри» параболы отрицательный, промежутки «вне» ее положительны. Т.к. в неравенстве дано «<0», то для ответа следует взять промежуток отрицательных значений. Учитываем, что неравенство строгое. Получаем: х ϵ (2; 4).
Ответ: Г–2 .
Вариант 17МБ6
Число m равно √2.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
Алгоритм выполнения
Для каждого из выражений правого столбца делаем следующее:
- Подставляем вместо m его числовое значение (√2). Вычисляем приблизительное значение.
- Ориентируясь на целую часть полученного числа, находим соответствующее значение на координатной прямой.
- Фиксируем пару «буква–число».
Решение:
Это значение на прямой находится между значениями –3 и –2 и соответствует точке А. Получили: А–1 .
Число находится между значениями 2 и 3 и соответствует точке D. Имеем: D–2 .
Число находится на прямой между 0 и 1. Это – точка С. Имеем: С–3 .
Число размещается на прямой между значениями –1 и 0, что отображает т.В. Получаем: В–4 .
Вариант 17МБ7
Каждому из четырех неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установить соответствие между неравенствами и их решениями.
Алгоритм выполнения
- Последовательно решаем каждое неравенство (А–Г), получая в ответе промежуток значений. Находим соответствующее ему графическое отображение в правой колонке (Решения).
- При решении неравенств учитываем, что: 1) при снятии знаков логарифма с основанием, меньшим 1, знак неравенства меняется на противоположный; 2) выражение под знаком логарифма всегда больше 0.
Решение:
Полученный промежуток-ответ отображен на 4-й координатной прямой. Поэтому имеем: А–4 .
Полученный промежуток представлен на 1-й прямой. Отсюда имеем: Б–1 .
В. Это неравенство аналогично предыдущему (Б) с разницей исключительно в знаке. Поэтому и ответ будет подобен с той только разницей, что в конечном неравенстве будет противоположный знак. Т.е. получим: х ≤ 3, х > 0 → x ϵ (0; 3]. Соответственно, получаем пару: В–2 .
Г. Это неравенство аналогично 1-му (А), но с противоположным знаком. Поэтому ответ здесь будет таким: х ≥ 1/3, х > 0 → х ϵ . Ответ: Б–4 .
Число В. Это число равно: 1,8+1=2,8, что соответствует отрезку . Ответ: В–2 .
Число Г. Тут получаем: 6/1,8≈3,33. Этому значению соответствует отрезок . Ответ: Г–3 .
Вариант 17МБ13
Число m равно √0,15.
Каждому из четырех чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
Алгоритм выполнения
- Преобразуем число m так, чтобы вынести значение из-под корня.
- Подставляем последовательно полученную величину для m в каждое из выражений в левом столбце. Получаемые результаты соотносим с подходящим отрезком из правого.
Решение:
Число √0,15 очень немногим отличается от √0,16, а из 0,16 можно точно извлечь корень. Делая подобное приближение – всего на 0,01 – мы не выходим за пределы приемлемой абсолютной погрешности. Поэтому имеем право принять, что √0,15≈√0,16=0,4.
Находим значения выражений А–Г и определяем их соответствия отрезкам:
А. –1/0,4=–2,5. Результат соответствует отрезку [–3; –2]. Ответ: А–1 .
Б. 0,4 2 =0,16. Число входит в промежуток . Ответ: Б–3 .
В. 4·0,4=1,6. Это число находится в интервале . Ответ: В–4 .
Г. 0,4–1=–0,6. Результат попадает на отрезок [–1; 0]. Ответ: Г–2 .
Вариант семнадцатого задания 2019 года (10)
На координатной прямой отмечено число m и точки А, В, С и D.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
Алгоритм выполнения
- Определяем приблизительное значение для m .
- Вычисляем значения выражений 1–4, находим соответствие между полученными результатами и точками А–D на координатной прямой.
Решение:
Точка m располагается почти посередине между 1 и 2, но немного ближе к 1, чем к 2. Максимально приближенным к реальному в данном случае следует считать значение m=1,4.
Определяем соответствие чисел и точек на прямой.
